20. 단일모집단 평균검증

지난 시간에는 '제11장. 자료분석의 준비와 기초통계' 내용 중에서 가설검증의 기초와 관련한 내용을 요약해보았다. (지난 시간의 요약내용은 아래 타이틀 하단의 '이전글'을 클릭하여 확인할 수 있다)

이어서 이번 시간에는 11장의 내용 중 단일모집단 평균검증과 관련한 내용을 정리해보도록 할텐데, 참고로 요즘에는 SPSS나 관련 사이트 등의 프로그램을 이용하면 통계량이 자동으로 계산되어 결과만 해석할 수 있으면 되지만, 원리 이해 차원과 시험 대비 차원에서는 이번 시간에 다룰 전통적인 계산방식을 알아두어야 하고, 다른 분석방법들의 검증방법도 이와 유사하니 이번 시간 역시도 집중하도록 해야겠다.

시작해보자!

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Written by 행복을만드는전략가

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 Theme 

단일모집단 평균검증

처음글 - 1. 마케팅조사의 역할

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전통적 방식과 p-value에 의한 검증

1. 검증통계량 계산식

1-1. 단일모집단 평균검증은 모집단의 평균(μ) 값을 기존의 견해와는 다르게 연구자가 생각하는 경우 사용한다.

1-2. 모집단의 구성요소들이 정규분포를 이룬다는 가정 하에 t-검증을 사용한다.

1-3. 'n ≥ 30' 이면 중심극한정리에 따라 z-검증을 사용할 수 있으나, t-검증을 사용하는 것이 보다 정확하다.

2. 단측검증 예제

Q) 아래의 자료로써 마케터는 평균 불평건수가 감소했다고 할 수 있는가? (α=0.05)

* 과거 소비자 일평균 불평건수 : 15건 이상

* 소비자만족 활동 전개 후 불평건수가 감소했을 것으로 추측.

* 최근 29일간 불평건수 : 13.5건 (표준편차 : 4건)

A-1) 전통적 방식 검증 (검증통계량이 임계치에 의한 기각역에 위치하였는지 확인)

Step 1) 가설설정 : H0 : μ ≥ 15 ㅣ H1 : μ ＜ 15 (좌측검증)

Step 2) 검증방법 결정 : 단일모집단 평균검증 : t-검증

Step 3) 검증통계량 계산 : t obs = (13.5 - 15) / (4 / √29) = -2.01

Step 4) 통계표에서 임계치를 찾아 기각역 설정 : t crit = 1.701 (자유도 29 -1 = 28, α = 0.05으로 t분포표에서 t값을 찾는다)

Step 5) 귀무가설의 기각여부 결정 : t obs 값이 기각역에 위치하므로, H0는 기각된다. 따라서 마케팅관리자는 불평건수가 감소했다는 결론을 내릴 수 있다.

cf. 검증통계량 '-2.01' 이 임계치 '-1.701' 외곽의 기각역에 위치하였으므로 기각.

A-2) p-value를 이용한 검증

Step 1, 2, 3) 'A-1' 과 동일

Step 4) 통계표에서 검증통계량에 대한 p-value 찾기 : 0.025 < p-value < 0.05 (자유도 28 상에서의 여러 α 수준에서 t값 '2.01'에 대한 범위를 찾는다)

Step 5) 귀무가설의 기각 여부 결정 : 'α ≥ p-value' 이므로 귀무가설 기각 결정.

cf. 전통적인 검증 방식에서는 'α=0.05' 에서 기각될 수 있다는 정보를 얻을 수 있지만, p-value를 이용한 검증에서는  'α=0.05' 수준에서는 기각되지만,  'α=0.025' 수준에서는 기각될 수 없다는 정보까지 얻을 수 있다. 

cf. t obs는 x축의 한 점의 값이고, p-value는 확률, 즉 그래프 상의 면적에 해당된다.

3. 양측검증 예제

Q) 아래의 자료로써 마케터는 평균 불평건수가 감소했다고 할 수 있는가? (α=0.05)

* 과거 소비자 일평균 불평건수 : 15건

* 불평건수가 맞지 않다고 생각

* 최근 29일간 불평건수 : 13.5건 (표준편차 : 4건)

A-1) 전통적 방식 검증

Step 1) 가설설정 : H0 : μ = 15 ㅣ H1 : μ ≠ 15 (양측검증) 

Step 2) 검증방법 결정 : t-검증

Step 3) 검증통계량 계산 : t obs = (13.5 - 15) / (4 / √29) = -2.01

Step 4) 통계표에서 임계치를 찾아 기각역 설정 : t crit = 2.048 (자유도 28, α = 0.025으로 t분포표에서 t값을 찾는다)

cf. 양측검증이므로 α는 0.05 / 2 = 0.0025가 됨.

Step 5) 귀무가설의 기각여부 결정 : t obs 값이 기각역에 위치하지 않으므로, H0는 기각되지 않는다. 따라서 마케팅관리자는 일평균 불평건수가 15건이라는 기존의 믿음을 거부할 수 없다.

cf. 검증통계량 '-2.01' 이 임계치 '-1.701' 안쪽의 채택역에 위치하였으므로 기각되지 않음.

A-2) p-value를 이용한 검증

Step 1, 2, 3) 'A-1' 과 동일

Step 4) 단측검증과 검증통계량이 동일하므로  '0.025 < p-value < 0.05' 이지만, 양측검증이므로 '0.025 < p-value / 2 < 0.05' ▶ '0.025 * 2 < p-value < 0.05 * 2' ▶ '0.05 < p-value < 0.1' 가 된다. 

cf. 양측검증이므로 p-value를 2로 나누어준 후, 모든 항에 다시 2를 곱해주는 방식으로 범위를 구한다.

Step 5) 귀무가설의 기각여부 결정 : 'α < p-value' 이므로 귀무가설은 기각되지 않는다.

cf. 양측검증의 경우 p-value는 단측검증의 p-value의 정확히 2배이므로, 단측검증에 비하여 귀무가설이 기각되기 어렵다.

SPSS 프로그램 분석결과로 해석

경영지도사 2차 시험에서는 아래와 같이 SPSS 프로그램의 분석결과를 제시하며 관련된 질문을 하는 방식의 문제가 자주 출제되므로 분석결과표의 각 부분이 무엇을 의미하는지 잘 확인하여야 하겠다.

1. 단측검증 예제

Q. 소득이 높은 초등학교 학생들의 평균키가 152cm보다 더 크다고 할 수 있는가?

* 초등학교 6학년 남학생들의 평균키 = 152cm

* 소득이 높은 초등학교의 학생들은 평균보다 키가 더 클 것이다.

* 소득이 높은 초등학교 6학년 남학생 30명의 키를 측정하니 평균은 153.7667이었다.

◇ SPSS 24 분석결과

1-1. 가설 설정 : H0 : μ = 152cm ㅣ H1 : μ > 152cm (우측검증) 

1-2. 유의확률(p-value) = 0.055 / 2 = 0.0275

cf. t-검증과 Z-검증의 경우 단측검증의 p-value는 양측검증의 p-value의 1/2 이다.

1-3. 유의수준(α) = 0.05 (차이의 95% 신뢰구간이라고 표시된 것이 신뢰수준이므로, 유의수준은 1 - 0.95 = 0.05 가 된다)

1-4. 해석 : α > p-value 이므로 귀무가설은 기각된다. 따라서 소득이 높은 초등학교의 학생들은 152cm보다 더 크다고 할 수 있다.

2. 양측검증

위와 동일한 내용으로 양측 검증을 한다고 해보자.

2-1. 가설 설정 : H0 : μ = 152cm ㅣ H1 : μ ≠ 152cm (양측검증) 

2-2. p-value = 표시된 그대로 '0.055' 가 된다.

2-3. α = 0.05

2-4. 해석 : α < p-value 이므로 귀무가설은 기각되지 않는다. 따라서 소득이 높은 초등학교 학생들의 평균 키가 152cm라는 기존의 믿음을 거부할 수 없다.