24. 두 모집단 비율차이 검증

지난 시간에는 12장에서 소개되고 있는 여러 자료분석방법 중 대응표본 t-검증(짝을 이룬 값들의 차이 검증)에 대한 내용을 요약해보았다. (지난 시간의 요약내용은 아래 타이틀 하단의 '이전글' 을 클릭하여 확인할 수 있다)

이어서 이번 시간에는 '두 모집단 비율차이 검증' 에 대한 내용을 정리해보도록 할텐데, 앞서 살펴본 '단일 모집단 비율검증'에서도 'Z-검증'을 사용했듯이, 이 역시도 비율검증이므로 Z-검증이 사용된다. 

따라서 앞서 살펴본 Z-검증의 기본적인 맥락과 통계표를 활용하여 Z crit나 p-value를 찾는 방식 등은 동일하나, 검증통계량 계산식은 모집단이 둘인 관계로 단일모집단 비율검증의 계산식과 다르니 이를 참고하여 아래 정리 내용을 확인해보도록 하자.

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두 모집단 비율차이 검증

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1. 검증통계량 계산식

아래 식에서 분모의 'p hat' 과 분자의 'p1 hat', 'p2 hat', 'p1', 'p2' 는 모두 다 다른 비율을 의미하니 각 비율이 의미하는 바를 명확하게 이해하여야 겠고, 특히 'p hat'의 경우는 두 모집단에서 특정 속성을 갖는 구성원의 수를 두 모집단의 수로 나눠준 값임을 유의하자.

2. 예제

Q) 매력적인 여성모델을 사용하는 광고가 남성소비자들로부터 보다 관심을 끌 수 있을까? (α = 0.01)

* 한 광고에는 매력적인 여성이, 다른 한 광고에는 평범한 여성이 등장하는 승용차 광고를 제작하였다.

* 남성 소비자 100명을 무작위로 두 그룹으로 나누어 A그룹에는 매력적인 여성모델의 광고를, B그룹에는 평범한 여성모델의 광고를 노출시켰다.

* 광고노출 후 그 승용차 광고에 관심을 갖는다고 응답한 피실험자들의 수는 A : 37명(74%), B : 23명(46%) 이었다.

A-1) 검증통계량이 기각역에 위치하는지 확인

Step 1) 가설설정 : H0 : p1 = p2 ㅣ H1 : p1 > p2 (우측검증)

Step 2) 검증방법 결정 : 두 모집단 비율차이 검증 - Z-검증

Step 3) 검증통계량 계산 : Z obs = (0.74 - 0.46) - 0 / √(0.6*0.4)/50+(0.6*0.4)/50 = 2.86

cf. 귀무가설에서 두 모집단의 비율은 차이가 없다, 즉 같다고 설정하였으므로, 분자의 'p1 - p2 = 0' 이 된다.

Step 4) 통계표에서 임계치를 찾아 기각역 설정 : Z crit = Z (0.01) = 2.33

cf. 표준정규분포표에서 '0.49 (0.5 - 0.01)' 와 가장 근접한 범위를 찾으면 0.4901에 해당하는 Z값 '2.33' 을 찾을 수 있다.

Step 5) 귀무가설의 기각여부 결정 : 기각역은 'Z ≥ 2.33' 이다. 여기서는 Z obs가 '2.86' 이므로 귀무가설은 기각된다. 따라서 매력적인 여성모델을 사용하는 광고는 남성소비자들의 관심을 보다 더 끌 수 있다고 할 수 있다.

A-2) p-value 로 검증

Step 1, 2, 3) 'A-1' 과 동일

Step 4) 통계표에서 Z obs 에 해당하는 p-value 찾기 : 0.5 - 0.4979 = 0.0021 

Step 5) 귀무가설의 기각여부 결정 : 'α > p-value' 이므로 귀무가설은 기각된다.